本文作为 CAGD 导论，从曲线发展的角度上简单介绍一下最重要的曲线，即多项式曲线 - Bezier曲线 - B 样条曲线 - NURBS曲线的发展路径。
引言
曲线和曲面造型是计算机辅助几何设计(CAGD)中的核心内容，主要研究如何用数学方法来描述和构造曲线、曲面的形状，以满足工程设计和图形显示的需要。
曲线和曲面造型在工程设计中具有重要作用，如汽车车身设计、飞机机翼设计、船舶船体设计等。通过精确的曲线和曲面造型，可以提高产品的性能、美观性和制造精度。
本文作为 CAGD 导论，从曲线发展的角度上简单介绍一下最重要的曲线，即多项式曲线 - Bezier曲线 - B 样条曲线 - NURBS曲线的发展路径。
基函数
基函数，即函数空间的一组基，可以用来表出指定函数。
这个思想是可以用一组确定的基函数来表示目标函数。
这个思想非常重要，之后我们把所有曲线都拆分成基函数的线性组合进行研究。
常见的基函数有多项式基，三角函数基(傅里叶基)，有理函数基等。
由于需要构造曲线的给出是任意的，选择基函数的原则应该是能满足任意函数的一致逼近的； 由于需要构造曲线通常不具有周期性，因此多项式基更适合（参考Weierstrass逼近定理）。
插值
要想按照一个点列构造一条曲线，最简单的想法就是插值。
插值在上篇文章详细讲了，这里只做简单叙述。
插值是一种数学方法，通过已知的一组数据点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$，构造一个函数 $ f(x) $，使得该函数在这些数据点上满足 $ f(x_i) = y_i $。
换句话说，插值函数通过已知数据点，并且可以用来估计这些数据点之间的未知点的值。
这个插值函数就可以作为一条穿过这些点，确定的曲线。
多项式插值
多项式插值是最传统的插值，即用幂基${1,x,x^2,…}$作为基函数插值。
对于给定点列，多项式插值具有唯一性。
显然多项式基组成函数的矩阵是范德蒙矩阵，范德蒙行列式不为零，即得多项式系数唯一。
对于多项式插值的算法，常见的有拉格朗日插值，牛顿插值。
这一类算法较为简单，计算量也小，但多项式插值在次数超过4次时可能会产生严重的龙格现象，有时不能满足对于平滑性的要求。
为了保证曲线的平滑，可以通过分段拼接多项式的方式来组成平滑曲线，这就是分段多项式插值。
分段多项式插值
通常工业需求中要求轨迹是二阶光滑的，因此分段线性插值，分段埃尔米特插值等算法无法达到光滑性要求。
三次样条插值可以保证二阶光滑，同时求解系数时只需解三对角矩阵，计算效率高。因此在要求低时可以考虑使用。
需要考虑多项式插值在次数超过4次时可能会产生严重的龙格现象，对平滑性有严重影响，因此较少用4次以上的多项式插值。
现代的一些高级工业中通常要求超过二阶光滑，即至少保证加速度光滑。那么可选的有分段Bezier 曲线和 B 样条曲线。
Bezier 曲线
Bezier 曲线由一系列的点（称为控制点）定义，通过调整这些点的位置，可以绘制出平滑且复杂的曲线形状。
Bezier 曲线可以是线性的（一次），也可以是高阶的（二次、三次等）。一个 n 次 Bezier 曲线由 n+1 个控制点 $ P_0, P_1, …, P_n $ 定义。
控制点：分布在空间中的点。
- 控制点确定曲线的整体形状和走势。
- 每个控制点都对应一个基函数，所有控制点与对应的基函数的乘积求和即可得到Bezier曲线的函数表达式。
Bezier 曲线的数学表达式为： \(C(t) = \sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) \cdot P_i\) 其中 $ B_{i,n}(t) $ 是 Bernstein 基多项式。
Bezier 曲线的计算方法较多，常见的有 Bernstein 多项式算法和 deCasteljau 算法，考虑数值稳定性一般选择 deCasteljau 算法。
deCasteljau 算法：这是一种递归算法，通过逐步计算内插点来逼近曲线。由于其数值稳定性，通常优先选择 deCasteljau 算法。
Bezier基函数
对于 Bezier 曲线，基函数为 Bernstein 多项式 Bernstein 基多项式定义为： \(B_{i,n}(t) = C_{n}^{i} t^i (1-t)^{n-i}\) 其中 $ C_{n}^{i} $ 是组合数，表示从 n 个不同元素中取 i 个元素的组合方式数量。
更进一步
根据定义，显然 Bezier 曲线每一个点变化都会影响整条曲线。如果要改变一个很长的曲线的中间一部分，就非常困难。
最简单的方式是把曲线分成多段，每段是单独的Bezier曲线，这样就更容易调整。
因此，分段 Bezier 曲线的控制点可以较容易的控制曲线，同时控制点的个数可以决定曲线的次数，进而控制光滑程度。
然而这个操作还是有限的，即划分到最后依旧是一段 Bezier 曲线作为最小调整单位，同时这个调整还是不均匀的。
B样条(NURBS)曲线作为分段 Bezier 曲线的扩展，解决了这个问题。
同时分段 Bezier 曲线无法精确的表示某些二次曲线（如圆），解析式就存在误差。
NURBS 曲线作为B样条曲线的扩展，解决了这个问题。
注：另一种解决方案是 有理 Bezier 曲线，但其本质是仍是 NURBS 曲线，在此不展开讲了。
B样条曲线
B样条曲线是一个分段连续的多项式曲线，一段B样条曲线由一组控制点和一组节点定义。
其中，控制点是实际空间中的点，而节点是分割出来的不同段的参数点。
B样条曲线是 Bezier 曲线的扩展，定义不仅需要一组控制点，还需要一组节点。
实际B样条曲线上的点是由多段基函数得到的点混合的，这个段数量即为B样条的次数。
控制点：分布在空间中的点。
- 控制点确定曲线的整体形状和走势。
- 每个控制点都对应一个基函数，所有控制点与对应的基函数的乘积求和即可得到B样条曲线的函数表达式。
节点：划分区间的参数点。
- 节点将曲线划分为不同的段，并决定每段的形状和连续性。
在B样条曲线中，控制点的数量、节点的数量和曲线的阶数之间满足一定的关系。
具体来说，若B样条曲线由n+1个控制点（从P0到Pn），有m+1个节点（从u0到um），阶数为p+1（次数为p），则必须满足m=n+p+1。
B样条曲线的数学表达式为： \(C(u) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) \cdot P_i\)
B样条基函数
B样条基函数的定义方式比较多，这里以 DeBo-Cox 递推定义为准，因为这种定义对于计算机实现最精确。
\[N_{i,0}(u) = \begin{cases} 1, & \text{if } u_i \leq u < u_{i+1} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\]令 $ U={u_0,u_1,…u_m} $ 是一个单调不减的实数序列，其中 $ u_i $ 称为节点，$U$称为节点矢量；
$N_{i,p}(u)$ 表示第i个p次（p+1阶）B样条基函数，定义为
\(N_{i,p}(u) = \frac{u - u_i}{u_{i+p} - u_i} N_{i,p-1}(u) + \frac{u_{i+p+1} - u}{u_{i+p+1} - u_{i+1}} N_{i+1,p-1}(u)\)
对于可能出现 0/0 的情况，这里规定0/0=0
显然，$p>0$ 时$N_{i,p}(u)$ 是两个 $p-1$次基函数的线性组合。
当 $N_{i,2}(u)$ 的节点向量为${0,0,…,0,1,1,…,1}$时（有p+1个0和p+1个1），恰好为2阶Bernstein多项式，这表明B样条多项式是Bezier多项式的推广。
更进一步
分段 Bezier 曲线无法精确的表示某些二次曲线，解析式存在误差，B样条也有相同的问题。
NURBS 曲线作为B样条曲线的扩展，解决了这个问题。
NURBS 曲线
B样条曲线可以根据节点间距分类，
- 均匀B样条曲线：所有节点间等间距
- 准均匀B样条曲线：可以分成几组等间距节点
- 非均匀B样条曲线：节点间距不等
NURBS 曲线 全称为 非均匀有理B样条，是 “有理” 的非均匀B样条曲线。
其中 “有理” 指代有理多项式，表现为每个控制点对曲线的贡献不再为1，而是由各自对应的权重控制。
NURBS 曲线定义为： \(C(u) = \frac{\sum_{i=0}^{n} w_i N_{i,p}(u) P_i}{\sum_{i=0}^{n} w_i N_{i,p}(u)}, a \le u \le b\)
其中：
- $C(u)$ 表示曲线上的点。
- $w_i$ 表示权重，与控制点$P_i$相关，用于调整控制点对曲线形状的贡献，进而调整曲线的形状。
- $P_i$ 表示控制点，是定义曲线形状的空间点。
- $N_{i,p}(u)$ 是p阶B样条基函数，决定曲线在控制点之间的插值方式。
有理基函数
可以定义$ 0 \le u \le 1$区间上的有理基函数 \(R_{i,p}(u) = \frac{ w_i N_{i,p}(u)}{\sum_{j=0}^{n} w_j N_{j,p}(u)}\)
进而 NURBS 曲线可以改写为 \(C(u) = \sum_{i=0}^{n} R_{i,p}(u) \cdot P_i\)
升维扩展
将控制点坐标和权重的组合看作齐次坐标，可以把权重作为一个新的维度加入控制点。
即对于控制点 $P_i[x_0,x_1,…x_n]$ 扩展为 $P_i[w_0x_0,w_1x_1,…w_nx_n,w_{sum}]$
则 NURBS 曲线在新的升维空间中变回 B样条曲线。
或者说 NURBS 是升维的B样条曲线的投影。
因此，NURBS 曲线的全部算法，可以使用B样条曲线算法扩展。